Systematik der Wirtschaftsmathematik
Das Projekt ist als offenes Angebot gedacht. Innerhalb der Systematik wurden einige Themen bereits aufbereitet, andere stellen eher eine Herausforderung dar. Neben der Lösung der Probleme zu den einzelnen Modellen ist auch die Bereitstlellung von Bei spielen angestrebt. Hierbei ist in erster Linie an solche aus der Ökonomie gedacht. Aber ebenso wie die Systematik auch innerhalb der gesamten Mathematik nützlich ist, können auch die Beispiele aus anderen Gebieten als der Ökonomie stammen. Hierbei wird sich zeigen, inwieweit die vorgeschlagenen Kategorien bei der Einordnung der Beispiele hilfreich sind.
Mit den vorgeschlagenen Kategorien läßt sich ein breites Spektrum von Systemen, Problemen und Methoden einordnen, das von der Elementarmathematik bis zur Theorie nichtlinearer stochastischer Systeme reicht. Wegen der Aufbereitung innerhalb des WWW als HTML-Dokument ist jedoch in erster Linie an eine Textdarstellung der Ideen und Grundzüge gedacht.
Ich bin an folgenden Informationen interessiert:
y = a x S0000, Version 1.
ist durch Strukturmerkmale ausgezeichnet, von denen vier mit den jeweiligen Alternativen hervorgehoben werden sollen:
Strukturmerkmal Alternative System --------------------------------------------- univariat multivariat S0001 linear nichtlinear S0010 deterministisch stochastisch S0100 statisch dynamisch S1000 ---------------------------------------------Eine Variante des Startmodells ist das "erweiterte Startmodell"
y = a x + b S0000, Version 2.
(P0) Identifikation von Modellparametern: (x,y) -> a (P1) Enumeration: (a,x) -> y (P2) Zielsuche (y numerisch vorgegeben): (a,y) -> x (P3) Inversion (y variabel): (a,y) -> xHinzu kommt die beim Startmodell triviale Aufgabe
(P4) Optimierung: max y -> x.
das multivariate Basismodell S0001: y = A x
das nichtlineare Basismodell S0010: y = f(x)
das stochastische Basismodell S0100: y = aX + b + Z (Version 1)
y = ax + b + Z (Version 2)
das dynamisch(-rekursive) Basismodell S1000: y[t] = a y[t-1] + b x[t]
Das multivariate Basismodell wird in der linearen Algebra, das nichtlineare Basismodell in der Analysis behandelt. Beim stochastischen Basismodell werden zwei Versionen unterschieden, je nachdem ob neben der Störgröße Z auch die Einflußgröße zufällig ist (X) oder einstellbar (x). Die Notation wurde jeweils so gewählt, daß die in der Wirtschaftsmathematik behandelten Modelle möglichst einfach zu subsumieren sind.
Von großer Bedeutung in der Ökonometrie ist z.B. das multivariate dynamisch-rekursive Modell
y[t] = A0 y[t] + A1 y[t-1] + B0 x[t] S1001
Ein Beispiel für das nichtlineare dynamisch-rekursive Modell
y[t] = f(y[t], y[t-1], x[t]) S1010
ist das logistische Wachstum.
y[t] = a y[t-1] (1 - y[t-1]).
Möchte man die damit verbundenen Erscheinungen (Chaos) verstehen, so erfordert dies somit mindestens die Basis-Konzepte Nichtlinearität und Dynamik.
Um den Stellenwert der Basis-Modelle, die hierarchischen Beziehungen zwischen den Modellen und die "Vererbung" der Probleme zu verdeutlichen, geben wir jetzt eine Übersicht über die Modelle an.
wirtschaftsmathematischer Modelle
+----------------------------+
¦ S1111 ¦
dynamisch ¦ ¦ multivariat Allgemeines
stochastisch ¦ Y = f (Y , Y , x , Z ) ¦ nichtlinear Modell
¦ t t t-1 t t ¦
+----------------------------+
+---------+ +---------+ +---------+ +---------+
¦S1110 ¦ ¦S1101 ¦ ¦S1011 ¦ ¦S0111 ¦ Modelle
¦univariat¦ ¦linear ¦ ¦determ ¦ ¦statisch ¦ dritter
+----+----+ +---------+ +----+----+ +---------+ Ebene
¦ ¦
+---+---------------------+
¦
"Chaos"
+-------+ +---+---+ +-------+ +-------+ +-------+ +-------+ Modelle
¦ S1100 ¦ ¦ S1010 ¦ ¦ S1001 ¦ ¦ S0110 ¦ ¦ S0101 ¦ ¦ S0011 ¦ zweiter
+-------+ +---+---+ +-------+ +-------+ +-------+ +-------+ Ebene
¦
+---+---------------------+
¦ ¦
+----+----+ +---------+ +----+----+ +---------+
¦S1000 ¦ ¦S0100 ¦ ¦S0010 ¦ ¦S0001 ¦ Basis-
¦dynamisch¦ ¦stochast ¦ ¦nichtlin ¦ ¦multivar ¦ modelle
+---------+ +---------+ +---------+ +---------+
+---------+
univariat ¦S0000 ¦ statisch Start-
linear ¦y = ax ¦ deterministisch modell
+---------+