S1001: Das multivariate dynamisch-rekursive Modell

(linear, deterministisch)

Spezialfall:

n=2, A0=0, B0=0, (y1,y2)=(x,y):

x[t] = a x[t-1] + b y[t-1]
y[t] = c x[t-1] + d y[t-1]

(P0) Identifikation: Ermittlung von A0, A1, B0
 (1) theoretisch
 (2) experimentell

(P1) Enumeration: 

Reduzierte Form: 
Finale Form:     
Hilfsmittel: Eigenwerttheorie
Beziehung auch zu Markoffketten

(P2) Zielsuche: 
 (1) gegeben: x1,...,xT, yT      gesucht: y0
 (2) gegeben: y0,...,yT          gesucht: x1,...xT

(P3) Inversion: wie (P2), nur y als Variable behandelt.

(P4) Optimierung: Optimale Steuerung, z.B.

Methoden: Lagrange, Diskretes Maximum-Prinip, Dynamische Programmierung

y = (y1,y2,y3) = (Y,C,I)
x = x1         = G         

Y[t] = Einkommen
C[t] = Konsum
I[t] = Investition
G[t] = Staatsausgaben (autonome Investition)

Y[t] = C[t] + I[t] + G[t]
C[t] = b Y[t-1]
I[t] = d(C[t]-C[t-1])

b = 0.9, d = 0.5, C[0] = 1000, I[0] = 100, G[t] = G[0] = 500  => Y[10] = 4711

Am Tag klettert er 3m hinauf, in der Nacht rutscht er 2m herunter.
x[t] = Höhe morgens, Beginn am Tag 0: x[0] = 0
y[t] = Höhe abends
x[t] = y[t-1] - 2
y[t] = x[t] + 3
In obiger allgemeinerer Terminologie (mit B0 = E = Einheitsmatrix, x[t] = x = const Vektor):
y[t,1] = 0 y[t,1] + 0 y[t,2]  + 0 y[t-1,1] + 1 y[t-1,2]  - 2
y[t,2] = 1 y[t,1] + 0 y[t,2]  + 0 y[t-1,1] + 0 y[t-1,2]  + 3
y[0,1] = 0 (y[0,2] = 3)
reduziert:
y[t,1] = 0 y[t-1,1] + 1 y[t-1,2]  - 2    ( alte Bezeichnung: x[t] = y[t-1] -2  morgens )
y[t,2] = 0 y[t-1,1] + 1 y[t-1,2]  + 1    (                   y[t] = y[t-1] +1  abends  )