AG-C: FM Algebra III
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Inhalt
In der homologischen Algebra beschäftigt man sich mit Komplexen in abelschen Kategorien und deren Kohomologie. Dies führt u.A. zum Begriff des Quasiisomorphismus zwischen Komplexen. Zudem beobachtet man, dass homotope Homomorphismen zwischen Komplexen denselben Homomorphismus auf der Kohomologie induzieren. Zur derivierten Kategorie einer abelschen Kategorie gelangt man, indem man die Homotopiekategorie der Komplexe bildet, in der die Morphismen aus Homotopieäquivalenzklassen von Homomorphismen von Komplexen bestehen, und fordert, dass Quasiisomorphismen Isomorphismen werden. Inbesondere der letzte Schritt ist technisch aufwändig. Die derivierte Kategorie einer abelschen Kategorie ist i.A. keine abelsche Kategorie mehr. An die Stelle von kurzen exakten Sequenzen treten ausgezeichnete Dreiecke. Man formalisiert diesen Begriff durch das Konzept einer triangulierten Kategorie. Die bekannten Funktoren aus der homologischen Algebra können nun elegant als Funktoren zwischen derivierten Kategorien eingeführt werden. Die derivierten Kategorien sind auch für sich genommen sehr interessante Objekte. Dies gilt insbesondere für die derivierten Kategorien algebraischer Varietäten, die sich aus den abelschen Kategorien der kohärenten Garben auf den Varietäten ergeben.
Im
Seminar sollen die Grundbegriffe der Theorie der triangulierten
Kategorien und die Konstruktion derivierter Kategorien besprochen
werden. Das besondere Augenmerk liegt dabei auf den derivierten
Kategorien algebraischer Varietäten. Wir möchten
zunächst Kapitel 1 bis 3 aus dem Buch von Huybrechts
durchnehmen. Wenn danach noch Zeit bleibt, werden geeignete
ausgewählte Themen besprochen.
Literatur
Gelfand, S.I.; Manin, Y.I.: Methods of homological algebra, second edition, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 2003, xx+372 S.
Hartshorne, R.: Residues and duality, Lecture notes of a seminar on the work of A. Grothendieck, given at Harvard 1963/64, with an appendix by P. Deligne, Lecture Notes in Mathematics, Bd. 20, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1966, vii+423 S.
Huybrechts, D.: Fourier-Mukai transforms in algebraic geometry, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 2006, viii+307 S.
Soergel, W.: Derivierte Kategorien und Funktoren, Vorlesungsskript, Mathematisches Institut, Universität Freiburg, 2017, 121 S.
Weibel, Ch.A.: An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Bd. 38, Cambridge University Press, Cambridge, 1994, xiv+450 S.
Vorträge
Die
Teilnehmer und Teilnehmerinnen bereiten selbstständig Themen
vor und präsentieren diese während eines etwa
neunzigminütigen Vortrags im Seminar (online).
Für
den Leistungsnachweis muss auch eine fünf- bis zehnseitige
schriftliche Ausarbeitung angefertigt werden.
Woche 1
Vorbesprechung
Woche 3
Leon
El-Sherif
Triangulated categories, exact functors, Serre
functors
Woche 4
John
Maar
Equivalences of derived categories, exceptional
collections, (semi-)orthogonal decompositions
Woche 5
Ibrahim
El Agami
Localisation
of categories, the derived category of an abelian category
Woche 6
Chieu
Hoang Nguyen Le
Bounded
derived categories
of
an abelian category via injective and projective resolutions
Woche 8
Vittorio
Di Fraia
Derived
functors
Woche 10
Nicolas
Gabriel Beck
Spectral
sequences
Woche 12
André-Alexander
Zepernick
The
Grothendieck spectral sequence
Woche 14
Karl
Felix Günther Kamphues
Derived
categories in algebraic geometry
Woche 15
Lucas
Christian G. Piessevaux
Derived
functors in algebraic geometry