n -Tupel

>720145 Zur Erklärung des Begriffs „Wert“

Das Wort „n -Tupel“ ist ein Substantiv, dessen Genus das Neutrum ist. Die Aussprache des Teiles nach dem „T“ ist wie die von „upel“ in dem bekannteren Wort „Skrupel“, das „n“ wird wie „enn“ gesprochen, der Genitiv ist „(des )n-Tupels“ und der Plural „(die )n-Tupel“.

Es sei n  eine natürliche Zahl; dann ist ein n-Tupel  ein Wert mit n  sogenannten Komponenten, und für jede natürliche Zahl i, mit 0 ≤ i  < n, ist die „Komponente i “ eines bestimmten n -Tupels wieder ein bestimmter Wert.

Beispielsweise hat ein 3-Tupel 3 Komponenten: die Komponente 0, die Komponente 1 und die Komponente 2.

Angabe von n -Tupeln

Ein n -Tupel wird durch die Angabe des Wertes n  und die Angabe seiner n  Komponenten angegeben (bestimmt). Die Angabe des Wertes n  kann dabei auch implizit durch die Angabe der Komponenten erfolgen.

Gleichheit von Tupeln

Eine Angabe eines n -Tupels und eine Angabe eines m -Tupels geben das gleiche Tupel genau dann an, wenn n  gleich m  ist und für jede natürliche Zahl i, mit i  ∈ ℕ ∧ 0 ≤ i  < n, die Angabe der i ten Komponente des n -Tupels denselben Wert angibt, wie die Angabe der i ten Komponente des m -Tupels.

n -Tupel-Terme

Ein n -Tupel kann durch Aufzählung aller seiner Komponenten in runden Klammern angegeben werden. Diese Form der Angabe eines n -Tupels ist ein n -Tupel-Term in einer verbreiteten Notation. Dabei werden die Komponenten durch ein Komma getrennt. (Auf die öffnende Klammer folgt die Angabe einer eventuell vorhandenen Komponente 0 oder die schließende Klammer. Auf die Angabe einer Komponente i  folgt direkt die schließende Klammer oder ein Komma, optionaler Leerraum und die Angabe der Komponente i +1.)

Ein 3-Tupel-Term

(   5,             9,             23             ) 
    Komponente 0,  Komponente 1,  Komponente 2   

Mit dieser Schreibweise kann man also sagen:

Der Term „( 1, 2, 3 )“ gibt das gleiche an wie der Term „( 1, 2, 3 )“.

Der Term „( 1, 2, 3 )“ gibt nicht das gleiche an wie der Term „( 1, 3, 2 )“.

Ein Wert kann auch mehrfach in einer n -Tupel-Angabe angegeben werden.

Ein anderer 3-Tupel-Term

(   5,             23,            23             ) 
    Komponente 0,  Komponente 1,  Komponente 2

An einer bestimmten Stelle in einem Tupel vorzukommen ist eine Rolle  eines Wertes. Ein Wert kann in einem Tupel auch mehrfach an verschiedenen Stellen vorkommen, also verschiedene Rollen spielen, ohne daß er dazu „mehrfach vorhanden“ sein muß. So kommt in dem Tupel ( 2, 2 ) die Zahl 2 zweimal  vor; trotzdem gibt es aber nur eine  Zahl 2.

Es sind aber auch andere Schreibweisen für Tupel üblich: Wenn innerhalb von in einem Tupel vorkommenden Zahlen Kommas verwendet werden, dann können zur Unterscheidung Semikolons  zur Trennung der Zahlen verwendet werden. Manchmal werden Tupel auch in spitzen Klammern geschrieben, etwa als "<5, 9, 23>".

Wird beispielsweise von einer Meßstelle alle 3 Stunden ab 0 Uhr die Temperatur gemessen, so ergibt sich an jedem Tag ein 8-Tupel von Temperaturen. Dabei ist die Reihenfolge wichtig, die 3. Komponente des Tupels ist beispielsweise die Temperatur um 6.00 Uhr. Auch mehrere Angaben eines Wertes als Komponenten ergeben einen Sinn, da ja zu verschiedenen Zeiten die gleiche Temperatur gemessen worden sein kann.

Temperaturmesswerte

( 12, 16, 18, 22, 21, 22, 18, 16 )

Bezeichnungen für Tupel

Man kann auch allgemein von einem Tupel  ohne vorangestellte Komponentenanzahl sprechen, wenn eine Aufreihung von Komponenten gemeint ist, bei der die Reihenfolge und Anzahl relevant ist, aber nicht von vorneherein eine bestimmte Anzahl von Komponenten festgelegt werden soll. In diesem Sinne kann man Wörter als Tupel von Buchstaben und Text als Tupel von Zeichen ansehen. Solch ein Tupel wird manchmal auch als eine Folge  oder eine Liste  bezeichnet.

Für bestimmte n -Tupel gibt es spezielle Namen: Ein 2-Tupel nennt man beispielsweise auch Paar, ein 3-Tupel nennt man auch Tripel, ein 4-Tupel nennt man auch Quadrupel, ein 5-Tupel nennt man auch Quintupel, und ein 8-Tupel nennt man auch ein Oktupel. Ein 1-Tupel wird manchmal auch als Singel  bezeichnet.

Gelegentlich wird auch eine Terminologie verwendet, die vielleicht aus der Melodik stammt, und von Tripletts (besonders für Spektrallinien gebräuchlich), Quadrupletts, Quintupletts u.s.w. spricht. Verwandt sind auch die Begriffe Solo, Duo, Trio, Quartett, Quintett u.s.w. für Musikgruppen. Im Französischen ist der Begriff « octett  » für ein Bitoktupel gebräuchlich, der inzwischen auch als Fremdwort Eingang in andere Sprachen gefunden hat. So spricht man auch im Deutschen gelegentlich von einem „Oktett“ oder im Englischen von einem “octet ” (mit nur einem  “t ” am Ende).

Gruppenbegriffe: Solo, Duett (Duo), Terzett (Trio), Quartett, Quintett, Sextett, Septett, Oktett (Doppelquartett), Nonett, Dezett; in der Musik unüblich: (Undezett), (D(u)odezett?), (Tredezett), (Sedezett [16]).

Übungsfragen

Übungsfrage 1 Ein Würfel wird dreimal geworfen, um 3 Würfelzahlen zu erhalten. Diese Würfelzahlen sollen zusammenfassend notiert werden. Sollten diese 3 Zahlen besser als eine Menge oder als ein Tupel aufgefaßt werden?

Übungsfrage 2 Sollte man die 6 Lottozahlen beim Spiel 6 aus 49  als eine Menge oder als ein Tupel ansehen?

Die Herkunft des Wortes „Tupel“

Das Wort „Tupel“ wurde vermutlich als Kunstwort aus der Endung von Wörtern wie „Quintupel“, „Sixtupel“ u.s.w. gebildet. Das Wort „Quintupel“ ist vermutlich mit dem Adjektiv „quintupel“ („fünffach“) verwandt, das vom spätlateinischen „quintuplex “ („fünffältig“) stammt. Damit ist ein „n-Tupel“ also soviel wie ein „n-Fältiges“.

Das aus dem Latein des Mittelalters stammende „quintuplus “, wird aus „quintus “ und „‑plus “ („‑fach“) gebildet, nach „quinque “ („fünf“). Teilweise wird auch die Ableitung aus „quintus “ und „plico “ angegeben („plicare “, „falten“). Daraus wurde auch das Verb „quintuplicare “ („verfünffachen“) gebildet, von dem sich wieder „quintuplicatus “ („fünffach“, im Sinne fünf gleicher Teile?) ableitet.

Das „Quadrupel“ geht wohl auf das lateinische „quadruplus “ zurück.

An die lateinischen Zahlwörter können die morphologischen Elemente „‑plex “ und „‑plus “ (-fach, vervielfältigt mit …) gefügt werden, um die folgenden Ableitungen zu erhalten:

simplex, simplicis /simplus, einfach

duplex, duplicis /duplus, zweifach, doppelt

triplex, triplicis /triplus, dreifach

quadruplex, quadruplicis /quadruplus, vierfach

quintuplex, quintuplicis /quintuplus, fünffach

sextuplex, sextuplicis /sextuplus, sechsfach

Tupel auf Englisch

Das Englische Wort für „Tupel“ ist “tuple ”, es gibt auch die Schreibweisen wie “5-tuple ”. Die Aussprache ist ['tu pl] (Vokal wie in “food ” oder—als Variante—wie in “but ”). Verwandt, aber eher in der Musik verwendet, ist das englische Wort “tuplet ”.

Die korrekte Aussprache gab Herr Professor Gerald A. Edgar von vom Department of Mathematics  von der The Ohio State University  in dem Netznachrichtenbeitrag "<090320010747017516%edgar@math.ohio-state.edu>"  an, indem er dort schrieb: “It rhymes with "quadruple" ”. Die obige Aussprache wurde dann aus der Aussprache [kwɑ 'dru pl] von “quadruple ” laut dem Dictionary of American English Pronunciation von Herrn Professor Bernard Silverstein  von der University of Tennessee  abgeleitet, indem [kwɑ dr] durch [t] ersetzt wurde.

Tupel als Mengen

Es gibt eine Definition von Kuratowski, mit der er das geordnetes Paar '(x, y)' durch die Menge '{{x}, {x, y}}' definiert.

Solch eine Definition beeindruckt zunächst dadurch, daß sie die Zahl der notwendigen Typen von Entitäten gering hält. Allerdings führt sie zu einigen merkwürdigen und unerwünschten Eigenschaften von Tupeln. So ist das Paar '(x,x)' dann gleich der Menge '{{x}}', so daß man dann sagen kann „Die Menge '(x,x)' enthält ein Element.“

Übungsaufgabe Zeigen Sie, daß mit der Definition von Kuratowski  gilt: ({a},{a}) = {(a,a)}.

Übungsaufgabe Werden die natürlichen Zahlen, wie in der Mengenlehre üblich, durch 0:={}, 1:={ 0 }, 2:={ 0, 1 }, 3:={ 0,1, 2 }, u.s.w. definiert, so gilt: (1,1)={(0,0)}, (1,1)={(0,0)} und ({1},(0,0)) = ((0,0),{1}) = ((0,0),(0,0)) = {(1,1)} = ({1},{1}) = {{(0,0)}}. Damit sind die folgenden Aussagen wahr: „Die erste Komponente von {1,2} ist 0.“, „(0,1) hat die Elemente 1 und 2.“, „(1,1) enthält ein Element, nämlich ein Paar.“, „Das Paar {(0,0)} hat zwei Komponenten, die beide 1 sind.“ und „Die erste Komponente des Paares ({1},(0,0)) ist (0,0) und die zweite Komponente ist {1}.“

Detlef Müller schlug die Definition '(a,b):={{a},{{a},b}}' vor, die einige Kollisionen vermeidet.

3-Tupel als 2-Tupel

Ein 3-Tupel wird gelegentlich durch '(x,y,z) := ((x,y),z)' als ein 2-Tupel definiert.

Allerdings gilt dann auch die Aussage „'(x,y,z)' ist ein 2-Tupel.“

Es ist auch nicht mehr klar, was die „zweite Komponente“ von '(x,y,z)' ist. Diese soll offensichtlich 'y' sein, kann aber wegen der Definition auch als 'z' angesehen werden.

Irrtümer über Tupel

„Ein Tupel ist eine geordnete Menge.“

Da eine Komponente in einem Tupel mehrfach vorkommen kann, handelt es sich nicht um eine Menge. Zwar gibt es eine Definition von Kuratowski, mit der er das geordnetes Paar '(x, y)' durch die Menge '{{x}, {x, y}}' definiert, doch handelt es sich dabei nicht um eine geordnete Menge im Sinne einer Menge mit einer Ordnungsrelation. Andere Autoren definieren Tupel axiomatisch, ohne sie auf Mengen zurückzuführen. Genauso sind Bezeichnungen, wie „geordnetes Tupel“ oder „geordnetes Tripel“ redundant, da Tupel immer geordnet sind.

„Ein Tupel ist eine bestimmte Art von Abbildung.“

Es liegt nahe, ein Tupel als Familie, also als eine bestimmte Abbildung, zu definieren. Doch werden oft Abbildungen unter Zuhilfenahme von Tupeln definiert, so daß man Tupel normalerweise braucht, bevor  man Abbildungen definieren kann; zumindest Paare werden dafür benötigt.

„Die Tabellen in relationalen Datenbanken enthalten Tupel.“

Diese Aussage stimmt nicht immer, denn sie würde bedeuten, daß für einen Datensatz mit z.B. 3 Feldern immer genau bestimmt ist, welches Feld die Komponente 0, die Komponente 1 und die Komponente 2 des Feldes (als Tupel) wäre. Tatsächlich kennen manche relationale Datenbanksysteme solch eine Anordnung im Datensatz aber nicht. Der Zugriff auf ein Feld erfolgt bei ihnen durch einen Feldnamen. Komponenten von Tupeln haben aber keine Namen, sondern sind durch ihre Position  im Tupel bestimmte. Ein Datensatz ist in diesen Datenbanken dann eher ein Namensraum  (siehe Seite <721036). Allerdings sind die Teile des relationalen Modells, die den Datensätzen relationaler Datenbanken entsprechen, tatsächlich Tupel. Nur werden diese in vielen relationalen Datenbanken eben durch Namensräume implementiert.

„Ein Paar Schuhe ist ein 2-Tupel.“

Der Alltagsbegriff „Paar“ ist nicht genau dem mathematischen Begriff „Paar“ für ein 2-Tupel gleich. Für ein „Paar Schuhe“ ist eine Reihenfolge  der Schuhe gerade nicht  definiert (welcher Schuh kommt zuerst: der linke oder der rechte?), sie unterscheiden sich, weil es zwei verschiedene  Schuhe sind: Der Unterschied liegt also nicht an ihrer Rolle, sondern in den Schuhen selber. Es gibt also keine Reihenfolge und das mehrfache Vorkommen desselben Schuhes ist nicht möglich: Daher handelt es sich eher um eine Menge  von Schuhen als um ein 2-Tupel. Natürlich ist der Begriff „Menge von zwei Schuhen“ nicht gleichbedeutend mit dem alltagssprachlichen Begriff „Ein Paar Schuhe“, es muß noch ergänzt werden, daß jeweils ein linker und einer rechter Schuh gleicher Art und Größe dazu gehört und die Menge genau diese beiden Schuhe enthält, also genau zwei Elemente hat.

Frage Tupel in der Informatik (2006-03-16)

Von  V 〈Rest des Vornamens 〉 K 〈Rest des Nachnamens 〉

IcCh wrüde gerne wissen welche Beziehungen zwischen einen Tupel unterschieden werden und wie werden diese in einer relationalen Datenbank abgebildet? Auf ihrere Seite finde ich fast nur Seiten die Tupel auf die Mathematik und nicht Informatik beziehen.

Antwort 2006-03-17 Sehr geehrte Frau K 〈Rest des Nachnamens 〉,

ich danke für Ihre Anfrage!

Der Name „relationale Datenbank“ kommt daher, daß eine solche Datenbank aus Relationen im mathematischen Sinne besteht. Eine Relation ist eine Teilmenge eines kartesischen Produktes und ihre Elemente sind daher Tupel.

Da Beziehungen durch Relationen dargestellt werden, werden auch Beziehungen zwischen Tupeln auch durch Relationen dargestellt. Weil diese Relationen wieder Tupel enthalten, kann man also sagen, daß die Eleganz des ganzen Systems unter anderem darin besteht, daß man, um Beziehungen zwischen Tupeln darzustellen, nichts Zusätzliches mehr braucht, sondern wiederum Tupel verwendet.

Um die Details dieser Vorgehensweise zu verstehen, ist es am besten etwas relationale Algebra zu erlernen und diese zu üben. Das Thema wird auf meiner Webseite über Tupel tatsächlich nicht behandelt, da diese Seite sich nur mit dem Thema Tupel im engeren Sinne beschäftigt.

Erklärungen zur relationalen Algebra finden Sie aber beispielsweise in den Ressourcen der URIs »http://mysql.rz.uni-hohenheim.de/kursunterlagen/tutorials/Relationale-Datenbanken.pdf«, »http://www.dbis.informatik.uni-frankfurt.de/TEACHING/DB-Seminar/2002_SS/Ausarbeitung/Relationale-DB.pdf« und »http://www.kaeppel-soft.de/forschung/Datenbanken11.pdf«

Mit freundlichen Grüßen

Stefan Ram