Das Zählen beginnt mit der Zahl Null

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In der Entwicklung von Programmen für Rechenanlagen ist es oft zweckmäßig, das Zählen mit der Zahl Null und nicht mit der Zahl Eins zu beginnen. Dieser Artikel soll einige Gründe dafür angeben und einige Hinweise dazu geben.

Drei Arten von Zahlen

Es gibt drei Arten der Verwendung nicht-negativer ganzer Zahlen:

Anzahlen 0, 1, 2, …—Anzahlen (Kardinalzahlen) werden verwendet, um die Anzahl von Dingen anzugeben. Sie enthalten immer die Null, weil Null eine mögliche Anzahl ist.

Positionswörter 1., 2., 3., …—Positionswörter geben die Position eines Dinge in einer Folge mit einem Anfang an. Das erste Ding am Anfang der Folge wird „erstes“ Ding genannt, das nächste wird „zweites“ genannt und so weiter. Die Bedeutung von „erstes“ wird durch die deutsche Sprache festgelegt, die auch bestimmt, daß es kein „nulltes“ Ding gibt. Für „erstes“ schreibt man auch „1.“, für „zweites“ „2.“ und so weiter.

Kennzahlen 0, 1, 2, … oder 1, 2, 3, … oder jedes andere Schema —Kennzahlen sind nur ein systematischer Weg, um Einträge einer Liste mit numerischen Namen zu versehen („sie zu numerieren“). Während jedes denkbare Schema erfunden werden könnte (wie A, B, C,…), wird meistens das Schema 0, 1, 2, … oder 1, 2, 3, … verwendet. Die ganze Debatte geht nicht darum, ob Anzahlen die 0 umfassen sollen oder ob Positionswörter bei „1.“ beginnen sollen. Es geht nur darum, ob Kennzahlen bei 0 (wie Anzahlen) oder bei 1 (wie Positionswörter) beginnen sollen.

Namen und Beschreibungen

Ein sprachlicher Fehler ist es aber in irgendeinem Zusammenhang von dem „nullten“ Ding in einer Reihenfolge zu sprechen. Das Ordnungszahlwort „das erste (Ding)“ bezeichnet aufgrund seiner Bedeutung in der deutschen Sprache immer das erste Ding in einer Reihe, auch wenn dieses Ding mit „Null“ bezeichnet wird. So kann man beispielsweise sagen „Die Null ist die erste natürliche Zahl.“. Vor dem „ersten Ding“ kann es nichts geben, deswegen gibt es kein „nulltes“ Ding. Egal, ob das erste Haus in einer Straße „Haus 0“ („Haus Null“), „Haus 1“ oder „Haus 2“ genannt wird, es bleibt stets das erste  Haus der Straße. Man kann mit der Mitternacht beginnende Stunde mit Recht „Stunde 0“ nennen, sie ist aber die erste Stunde  des neuen Tages und nicht die „nullte“.

Wer also das Zählen stets mit der Null beginnen will, darf deswegen trotzdem nicht von einem „nullten“ Eintrag in einer Folge sprechen. Der Name „Null“ ist der Name, den wir einer bestimmten Zahl geben, „die erste natürliche Zahl“ ist eine Beschreibung  für diese Zahl. Ein Name kann willkürlich  zugeordnet werden, während eine Beschreibung  die Wörter mit ihrer in einer bestimmten Sprache gegebenen Bedeutung verwenden muß.

(In der Thermodynamik gibt es einen „nullten Hauptsatz“, der erst formuliert wurde, nachdem der „erste Hauptsatz“ schon festgelegt war, aber vor diesem stehen sollte.)

Alles beginnt mit der Null

In der Regel ist es beim Programmieren wichtig, bei der Angabe einer Zahl auch die Verwendung der Zahl Null zu ermöglichen.

Man denke beispielsweise an ein Programm, das die Einrückung einer Zeile erlaubt: Sie gibt an, um wieviele Positionen eine Zeile nach rechts verschoben ist.

Einrueckungen

12345678 
  Text   -- um zwei Zeichenbreiten eingerueckt 
 Text    -- um eine Zeichenbreite eingerueckt 
Text     -- gar nicht eingerueckt (um null Zeichenbreiten)

Wird die erste Position einer Zeile mit »1« bezeichnet, so erscheint das erste Zeichen, das kein Leerzeichen ist, bei Einrückung um 0 Zeichenbreiten an Position 1, bei Einrückung um 1 Zeichenbreite an Position 2 und bei Einrückung um 2 Zeichenbreiten an Position 3. Um aus der Einrückung die Position des ersten Zeichens zu erhalten, ist also stets 1 zu addieren. Das erste Zeichen einer um i  Zeichen eingerückten Zeile, das kein Leerzeichen ist, befindet sich bei dieser Zählweise also bei der Position i +1.

Bezeichnet man die Positionen hingegen mit der Zahl Null beginnend, so kann man sich diese Addition ersparen:

Einrueckungen

01234567 
  Text   -- um zwei Zeichenbreiten eingerueckt 
 Text    -- um eine Zeichenbreite eingerueckt 
Text     -- gar nicht eingerueckt (um null Zeichenbreiten)

Nun erscheint das erste Zeichen einer Zeile, das kein Leerzeichen ist, an Position i, wenn die Zeile um i  Zeichenbreiten eingerückt wurde. Diese Vereinfachung bei der Behandlung einer Verschiebung und der sich ergebenden Position findet sich auch in vielen anderen Fällen wieder. Sie ist einer der Gründe, die dafür sprechen, das Zählen mit der Zahl Null zu beginnen.

Obwohl das Addieren oder Subtrahieren des Werts 1 kein großer Aufwand zu sein scheint, ist es doch eine häufige Fehlerquelle, wenn es vergessen wird oder an der falschen Stelle eingesetzt wird. Durch den Wegfall dieses Schrittes wird also auch eine Quelle für die häufigen Um-eins-daneben-Fehler beseitigt.

Wenn man das Zählen mit Null beginnt, so gibt jede Zahl ihre Differenz zur ersten Zahl richtig an.

Zählt man „1, 2, 3“, so ist die Differenz der Zahl „3“ zur ersten Zahl „1“ gleich 2, also nicht die Zahl 3 selber. Zählt man „0,1,2“, so ist die Differenz der Zahl „2“ zur ersten Zahl „0“ gleich 2, also gleich der Zahl selber. Diese Eigenschaft vereinfacht vieles, wenn man das Zählen mit der Null beginnt.

Wenn man die Zeit für 10 Schwingungen eines Pendels zählen will, und beim Start der Stoppuhr (an einem Nulldurchgang des Ausschlags) beginnt von Eins an zu zählen, so müßte man die Stoppuhr stoppen, wenn man „Elf“ zählt, denn wenn man „n “ zählt, gab es n −1 Schwingungen seit Beginn der Zählung. Zählt man von Null an, so gibt jede Zahl die Anzahl der vor ihr liegenden Intervalle der Länge Eins an. Man zählt dann also bis „Zehn“, um zehn Schwingungen zu zählen und hat wieder eine mögliche Ursache für einen Um-eins-daneben-Fehler weniger.

Wenn man das Zählen mit Null beginnt, so gibt jede Zahl die bisher gezählten Einheitsintervalle an.

Die Anzahl dieser Einheitsintervalle ist nämlich gerade die Differenz der Zahl zu Null.

Positionen auf Schachbrettern

Oft kommen zweidimensionale Schemata vor, wie etwa bei einem Schachbrett oder einer Tabellenkalkulation.

In dem folgenden rechteckigen Schema mit 3 Zeilen und 3 Spalten ist jede Zelle mit Zahlen von 1 bis 9 durchnumeriert. Das Zählen wurde jeweils mit der Zahl 1 begonnen.

Ein Rechteck

   1 2 3 < Spalte
1  1 2 3 
2  4 5 6 
3  7 8 9 
^ 
Zeile

Die Spalte s  einer Zelle kann aus ihrer Kennzahl k  als s  =( k  − 1 )mod 3 + 1 berechnet werden, wobei "mod" die Modulo-Operation bezeichnet ("m  mod n " ist der Rest der Division von m  durch n ).

Nun wird die gleiche Situation dargestellt, nur wird mit der Zählung bei Null begonnen.

Ein Rechteck

   0 1 2 < Spalte
0  0 1 2 
1  3 4 5 
2  6 7 8 
^ 
Zeile

Die Spalte s  einer Zelle kann nunmehr aus ihrer Kennzahl k  als s  = k  mod 3 berechnet werden. Diesmal sind zwei Verschiebungen um 1 entfallen und damit auch zwei Möglichkeiten für Um-eins-daneben-Fehler.

Solche Schemata (mit zwei oder mehr Dimensionen) kommen in der Programmierung oft vor. Aber auch verwandte Situationen tauchen auf, etwa wenn aus dem Datum eines (gregorianischen) Kalenders eine Tageszahl ermittelt werden soll.

Der Kalender

Oft wird für kalendarische Berechnungen der Abstand eines Tages vom Monatsanfang als ein Zwischenwert benötigt. Der ebenfalls benötigte Abstand eines Tages vom Jahresanfang ist nämlich der Abstand des ersten des Monats vom Jahresanfang zu dem der Abstand des Tages vom Monatsanfang addiert wird. Der Abstand eines Tages vom ersten Tag eines Monats ist die Zahl des Tages minus 1.

Die zusätzliche Subtraktion des Wertes 1 wäre bei solchen Rechnungen nicht nötig, wenn die Tageszählung mit Null beginnen würde.

Im klassischen gregorianischen Kalender gibt es kein Jahr Null. Das erste Jahr ist das Jahr Eins. Dies scheint eine Vereinfachung zu sein, doch tatsächlich führt es zu vielen Fehlern, wie etwa der Ansicht, das 20. Jahrhundert würde von 1900 bis 1999 dauern: Da das erste Jahrhundert, also die ersten Hundert Jahre, nämlich von 1 bis 100 dauerte, geht das 20. Jahrhundert von 1901 bis 2000, und das dritte Jahrtausend beginnt am 1. Januar 2001.

Das Zählen mit Null ist unserer Kultur nicht fremd

Der Gedanke, den ersten Tag des Monats als den Tag Null zu bezeichnen, wirkt vielleicht zunächst befremdlich. Daß dies aber so aberwitzig nicht ist, erkennt man, wenn man daran denkt, daß dieses Prinzip bei den Stunden eines Tages tatsächlich angewendet wird: Ruft man um Mitternacht die Zeitansage an, so hört man nämlich tatsächlich „Beim nächsten Ton des Zeitzeichens ist es: null Uhr, null Minuten und zehn Sekunden.“ Die Stunden-, Minuten und Sekundenzählung beginnt tatsächlich bei Null und vereinfacht so auch viele Rechnungen mit Stunden, Minuten und Sekunden: So sind um 5.20 gerade 5·60+20 Minuten oder 5·1440+20·60 Sekunden vergangen: Eine zusätzliche Addition oder Subtraktion von 1 ist bei diesen Rechnungen nicht nötig.

Die Stunde Null ist die Stunde zwischen 0 und 1 Uhr: Zu jedem Zeitpunkt dieser Stunden sind nämlich 0 Stunden (und einige Minuten) seit 0 Uhr vergangen. Als Stunde aller dieser 0-Stunden-Zeitpunkte trägt sie ihren Namen also zu recht.

Bei Bläsern und teilweise Gitarristen ist im Fingersatz der Daumen „0“, der Zeigefinger „1“ u.s.w. Also ist das Beginnen mit Null selbst beim Abzählen der Finger unserer Kultur nicht ganz fremd.

Bei Saiteninstrumenten bezeichnet die „0“ auch eine nicht-gegriffene Saite.

Im Jahre 2005 wurde berichtet, daß der afrikanische Graupapagei Alex  nach Ergebnissen von Irene Pepperberg  von der Brandeis University  in Waltham  (USA ), spontan den Begriff „Null“ erfand und bei Zählaufgaben richtig anwendete.

Bericht

http://www.wissenschaft.de/wissen/news/drucken/255287.html

Journal of Comparative Psychology, Bd. 119 (2), S. 197

Die Null ist die erste natürliche Zahl

Nach der DIN 5473 vom Juni 1976 enthält die Zahlenmenge N der natürlichen Zahlen die Zahl Null.

Zur Definition der natürlichen Zahlen wird im allgemeinen das Axiomsystem von Peano  verwendet. Auch nach diesen Axiomen ist die Null eine natürliche Zahl. „Zero es numero “ (Assiomi di Peano  [da Peano G. , Formulario Mathematico, Fratelli Bocca  {indicato sul frontespizio come Fratres Bocca } Editore, Torino 1908, pag. 21]). Es gibt allerdings auch Quellen, nach denen Peano  auch manchmal mit der Eins begonnen haben soll, und es konnte nicht ganz geklärt werden, ob die Null für ihn wirklich die erste natürliche Zahl war.

Die Null verträgt sich mit Bereichsangaben

Intervalle natürlicher Zahlen werden gerne durch eine Ungleichung "m  ≤ i  < d " angegeben. Darin ist "m " das Minimum des Intervalls, "i " ein Wert aus dem Intervall und "d " der Deckel des Intervalls. (Der Deckel ist um eines größer als das Maximum.)

Würde man nämlich statt der Relation "≤" zuerst die Relation "<" verwenden, so könnte man einen Bereich der natürlichen Zahlen, der die Null enthalten soll, nicht angeben, ohne eine noch kleinere Zahl vor der Relation "<" anzugeben, die es aber in den natürlichen Zahlen nicht gibt. (Das gleiche Problem hätte man selbst dann, wenn man die Zahl "1" als erste natürliche Zahl wählen würde.) Wäre die zweite Relation die Relation "≤" an Stelle der Relation "<", so könnte aber ein leeres Intervall "0 ≤ i  < d ", das mit der ersten Zahl beginnt, nicht angegeben werden, wenn nur natürliche Zahlen verwendet werden. (Jedes andere leere Intervall könnte verwendet werden, aber manchmal kann man nur die zweite Zahl angeben.)

Asymmetrische Intervallangaben, wie die Angabe "m  ≤ i  < d ", haben die angenehme Eigenschaft, daß die Differenz "d −m " zwischen den beiden angegebenen Werten, die Anzahl der Werte des Intervalls angibt.

Um ein Intervall mit n  Werten zu schreiben, könnte man nun die Bedingung "1 ≤ i  < 1+n " oder "0 ≤ i  < n " verwenden. Die zweite Form ist offensichtlich einfacher. Tatsächlich verwenden Programmierer bevorzugt solche Intervallspezifikationen, weil sie ihnen dabei helfen, Um-eins-daneben-Fehler zu vermeiden, denn der Deckel "n " gibt genau die Zahl der Werte des Intervalls an. So wird in der Programmiersprache C  eine Schleife "for( int i = 0; i < n; ++i );" denn auch genau n  Mal durchlaufen, dies wäre anders, wenn etwa der Operator "<=" an Stelle von "<" verwendet worden wäre oder, wenn die Variable "i" mit dem Wert "1" initialisiert worden wäre. Beim Beginn mit "0" gibt der Wert "i" am Anfang jedes Schleifendurchlaufs an, wie oft die Schleife bisher durchlaufen wurde; diese Aussage gilt sogar noch nach dem Ende der Schleife. Diese Eigenschaft ist vereinfacht die Formulierung sogenannter Schleifeninvarianten. Die bei Null beginnende Zählung erlaubt es auch, den Test durch den Ausdruck "i != n" (an Stelle des Ausdrucks "i < n") zu schreiben, was den Beweis, daß nach dem Ende der Schleife die Aussage "i = n" gelten muß, vereinfacht. Dieser Test müßte als "i != n+1" geschrieben werden, wenn das Durchzählen bei der Zahl 1 begonnen hätte.

Ein Exkurs zu asymmetrischen Intervallangaben

Für die alten Römer gehörte zu einem Intervall stets der erste und der letzte angegebene Wert. So umfaßt das Intervall „von Montag bis Montag“ dann acht Tage, weswegen wir heute noch den Ausdruck „in acht Tagen“ verwenden. Allerdings führte diese Konvention zu gelegentlichen Um-eins-daneben-Fehlern: Die Schaltjahre, welche jeweils alle vier Jahre stattfinden sollten, wurden von ihnen nämlich zunächst so gelegt, daß, wenn das erste Schaltjahr im Jahre 1 stattfand, das nächste im Jahre 4 stattfinden sollte. Zählt man das Jahr 1 und das Jahr 4 mit, so sind dies ja auch vier Jahre. Tatsächlich sind vom 1.1.1 bis zum 1.1.4 aber erst drei Jahre vergangen (da das Jahr 4 da ja gerade erst beginnt). So wurden die Schaltjahre einige Jahrzehnte zunächst lang falsch umgesetzt, bis dann der Fehler endlich bemerkt wurde.

Die Null verträgt sich mit Adreßarithmetik

Zahlen als Namen werden auch „Adressen“ genannt (hier kann man an Hausnummern denken). Das Rechnen mit solchen Adressen nennt man auch „Adreßarithmetik“. Beim Programmieren indiziert man in Sprachen wie der Programmiersprache C  auch Reihungen von Objekten (arrays ) durch Adressen. Eine zu einem Index addierte Zahl wird hier „Versatz“ genannt. Die Kennzahl eines Objektes in einer Reihung nennt man den Index  dieses Objektes. Die hier besprochenen Eigenschaften treffen aber nicht im speziellen auf die Programmiersprache C  zu, sondern gelten allgemein bei Programmierung in Maschinensprache und in vielen anderen Sprachen. Die Aussagen über Teilreihungen gelten für alle Sprachen mit Reihungen.

Ist "a" die Adresse einer Reihung, so ist die Adresse ihrer ersten Komponente "a+0" (und nicht "a+1"). Daher bietet es sich an, die Zahl Null als Kennzahl dieser Komponente zu verwenden. Spätestens, wenn man Teilreihungen betrachtet, erweist sich dies nämlich wieder als Vereinfachung: Die erste Komponente der Teilreihung, die mit dem Index "i" beginnt, hat nämlich den Index "i+0", so daß der Versatz "0" auch gleichzeitig der natürliche relative Index der ersten Komponente dieser Teilreihung ist. (Der relative Index der Teilreihung ist die Kennzahl eines Objektes in der Teilreihung, während der absolute Index die Kennzahl eines Objektes in der ganzen Reihung ist.) Würde man hier darauf bestehen, die bei "i" beginnende Teilreihung mit Indizes "j" beginnend bei 1 durchzunumerieren, so wäre der absolute Index, der zum Index "j" gehört, durch "j+i-1" gegeben, beginnt man bei Null, so ist er einfach gleich "j+i".

Die Null ist ein möglicher Speicherzustand

Bei der üblichen vorzeichenlosen Darstellung von Zahlen durch Bit-Tupel ergibt sich der Wert 0 auf natürliche Weise. Wenn man diesen Wert nicht als Adresse verwendet, dann verzichtet man auf einen möglichen Wert.

Vier Zwei-Bit-Adressen bei Verwendung der 0

00 Adresse 0
01 Adresse 1
10 Adresse 2
11 Adresse 3

Nur drei Zwei-Bit-Adressen ohne Verwendung der 0

00 (nicht verwendet)
01 Adresse 1
10 Adresse 2
11 Adresse 3

Das Erdgeschoß *

Auf den Tasten eines Fahrstuhls wird das Erdgeschoß häufig mit »E« bezeichnet, das Stockwerk darüber mit »1« und ein eventuelles Kellergeschoß direkt unter dem Erdgeschoß hingegen mit »−1«. Anscheinend hat das »E« hier die Rolle der »0« eingenommen, die in manchen Fahrstühlen auch für das Erdgeschoß verwendet wird. Wenn die Numerierung der Stockwerke also wie üblich im Erdgeschoß mit der 0 begonnen wird, dann werden davon nach oben und unten abgehende Ober- bzw. Untergeschosse symmetrisch mit +1 bzw. −1 bezeichnet.

Würde man die Numerierung hingegen im Erdgeschoß mit der 1 beginnen, dann wäre die Bezeichnung der Untergeschosse schwieriger: Würde man das erste Untergeschoß als „0“ bezeichnen, dann hätte man ja wieder eine bei 0 beginnende Zählung, die nur um eine Stufe nach unten verschoben wurde. Man müßte dann bei zwei Untergeschossen das Erdgeschoß möglicherweise mit der 2 bezeichnen, was unüblich ist. Das tiefste Geschoß mit der 0 zu bezeichnen wäre aber grundsätzlich noch akzeptabel. Würde man aber das Erdgeschoß 1 nennen und das erste Untergeschoß −1, so befände sich der Symmetriepunkt zwischen Erdgeschoß und erstem Untergeschoß (was unbefriedigend ist, da sich dort tatsächlich kein Symmetriezentrum befindet), und die Differenz der Kennzahlen beider Geschosse wäre 2, während sie zwischen allen anderen Geschossen 1 betragen würde.

Hier scheint die Verwendung der 0 für das Erdgeschoß also die angenehmste Lösung zu sein.

Die Null verträgt sich mit linearen Operationen

Auch in Zusammenhang mit dem Rechnen mit Zahlen mit Nachkommastellen, ist es einfacher, die Null als Anfang von Intervallen zu verwenden, da viele lineare oder ähnliche Operationen dann einfacher anwendbar sind. So liefern ein Zufallszahlengenerator für Gleitkommazahlen oft Werte aus einem Bereich, der mit Null beginnt. Durch Anwendung der „Bodenoperation“ (welche die größte ganze Zahl ermittelt, die kleiner oder gleich zu dem Argument ist), erhält man daraus direkt ganze Zahlen aus einem Bereich, der dann ebenfalls mit Null beginnt.

Durch eine einfache Division oder Multiplikation (eine lineare Operation) läßt sich die obere Grenze und der gesamte Bereich auf einen anderen gewünschten Bereich skalieren. Durch die Multiplikation bleibt dabei die untere Bereichsgrenze Null erhalten. Würden die Zufallszahlen statt dessen mit der 1 beginnen, so könnten solche linearen Operationen nicht direkt angewendet werden, da sie auch die untere Bereichsgrenze verändern würden (was meistens nicht gewünscht wird).

Die Null ist das neutrale Element der Addition

Betrachtet man die natürlichen Zahlen nur als Menge, so sind "0" und "1" nur zwei verschiedene Namen – sobald man aber die übliche Struktur hinzuzieht, gibt es einen wesentlichen Unterschied: Die "0" ist das neutrale Element bezüglich der Addition, die "1" nicht. Die natürlichen Zahlen ohne "0" haben also kein solches neutrales Element, das man dann manchmal vermißt.

Was ist eine „Zahl“?

Manchmal wurde die Auffassung vertreten, die Null sei ja gar keine „richtige Zahl“. Solche Auffassungen hängen von der Kultur ab, in der man lebt. Tatsächlich war für die alten Griechen die Eins keine Zahl, sondern die Einheit, aus der alle Zahlen konstruiert werden konnten.