Vergleichsoperatoren

In der Mathematik gibt es unter anderem die folgenden Vergleichsoperatoren.

< kleiner
≤ kleiner-gleich (d.h. „kleiner oder gleich“)
> größer
≥ größer-gleich (d.h. „größer oder gleich“)
= gleich
≠ ungleich (d.h. nicht gleich)

Diese Operatoren können verwendet werden, um Aussagen zu schreiben.

So bedeutet "1 < 2" die Aussage „Eins ist kleiner als Zwei.“ und „1 ≤ 2“ ist die Aussage „Eins ist kleiner als Zwei oder Eins ist gleich Zwei.“. Dabei ist „kleiner als oder  gleich“ so zu verstehen, daß diese Aussage als wahr gilt, wenn mindestens eine der beiden Möglichkeiten zutrifft. Da Eins zwar nicht gleich  Zwei ist, trifft die zweite Bedingung zwar nicht zu, es reicht aber, daß eine  Bedingung zutrifft, und damit ist die gesamte Aussage „Eins ist kleiner oder gleich Zwei.“ wahr. Entsprechendes gilt für den Operator „≥“.

Man nennt eine Beziehung, wie z.B. „Kleiner-als“, auch eine Relation. (In der Mathematik ist solch eine Relation als die Menge der Paare definiert, zwischen denen diese Beziehung besteht.)

Das sprachliche Mittel, mit dem eine Relation notiert wird, wird auch als Prädikat  bezeichnet. Ein Prädikat hat eine bestimmte Anzahl von Stellen, von denen der Wert des Prädikats abhängt, der immer „wahr“ oder „falsch“ ist. Die in dieser Lektion behandelten Operatoren sind alle zweistellige  Prädikate, da es sich um Operatoren mit zwei  Operanden handelt. Mit einem Prädikat kann man Aussagen  schreiben, so kann man beispielsweise „2 < 3“ als die Aussage „Zwei ist kleiner als drei.“ lesen.

In vielen formalen Sprachen steht kein Zeichensatz zur Verfügung, der die mathematischen Operatoren „≤“ (kleiner-gleich), „≥“ (größer-gleich) und „≠“ ungleich enthält. Daher werden diese Operatoren durch eine Kombination mehrerer Schriftzeichen geschrieben – ähnlich wie ein Wort aus mehreren Buchstaben zusammengesetzt wird.

So wird der Kleiner-Gleich-Operator durch das Zeichenpaar "<=" dargestellt, der Größer-Gleich-Operator wird mit dem Zeichenpaar ">=" geschrieben und für den Ungleich-Operator wird das Zeichenpaar "!=" oder das Zeichenpaar "<>" (je nach formalen Sprache) verwendet. Bei diesen Operatoren darf man die Reihenfolge der beiden Zeichen nicht vertauschen und man darf auch kein Leerzeichen zwischen die beiden Zeichen setzen. In einigen formalen Sprachen verwendet man die Schreibweise "==" für die Relation „Gleich“. Solche aus Zeichen zusammengesetzten Symbole werden auch als Token  (Kürzel) bezeichnet.

Die Vergleichsoperatoren ergeben in den gängigen formalen Sprachen einen Wert, der angibt, ob eine mit den Operatoren formulierte Aussage wahr oder falsch ist. Dieser Wert kann dann nach Bedarf weiterverarbeitet werden.

In manchen formalen Sprachen werden Zahlen für Wahrheitswerte verwendet und dann steht meistens 0 für „falsch“ und 1 oder -1 für „wahr“. In anderen formalen Sprachen gibt es einen speziellen Datentyp für Wahrheitswerte und dann steht der Wert "false" für „falsch“ und der Wert "true" für „wahr“.

Wenn eine Zahl größer als 0 ist, dann sagt man sie sei positiv.

Wenn eine Zahl kleiner als 0 ist, dann sagt man sie sei negativ.

Wenn eine Zahl 0 ist, dann sagt man auch sie verschwinde.

Übungsfragen

Übungsfrage Welche der folgenden Aussagen (Ausdrücke) sind wahr?

Aussage "2 == 2",
Aussage "2 <= 2",
Aussage "2 != 2",
Aussage "2 < 2",
Aussage "2 > 2" und
Aussage "2 >= 2".

Übungsfrage Welche der folgenden Aussagen (Ausdrücke) sind wahr?

Aussage "-3 == 2",
Aussage "-3 <= 2",
Aussage "-3 != 2",
Aussage "-3 < 2",
Aussage "-3 > 2" und
Aussage "-3 >= 2".

Übungsfrage Welche Elemente der Menge { 0, 1, -1 } sind positiv, nicht negativ, negativ, nicht positiv, verschwindend, nicht verschwindend?

Übungsfrage Die Aussage „2 ist gleich 0.“ schreibt man "2 == 0". Wie schreibt man die Aussage „2 ist negativ.“, die Aussage „2 ist positiv“, die Aussage „2 ist nicht Null.“, die Aussage „2 ist nicht negativ.“ und die Aussage „2 ist nicht positiv.“?

Übungsfrage Wie lautet die Verneinung der folgenden Aussagen (Ausdrücke)? Zur Bildung der Verneinung dürfen nur Vergleichsoperatoren verwendet werden. Die Verneinung muß falsch sein, wenn die ursprünglich Aussage wahr ist (und umgekehrt).

Ausdruck "x  == 7",
Ausdruck "x  < 7" und
Ausdruck "x  <= 7".

Priorität

Die Bindungskraft der Vergleichsoperatoren ist in den meisten formalen Sprachen kleiner als die der Grundrechenarten, so daß beispielsweise "2 < 1 + 1" den Wert des Ausdrucks "1 + 1" mit "2" vergleicht.

Kombination

In den meisten formalen Sprachen (eine Ausnahme ist vielleicht Perl 6) bedeutet ein Ausdruck mit zwei Vergleichsoperatoren, wie beispielsweise der Ausdruck "3 < x < 12", nicht das gleiche wie die mathematischen Schreibweise "3 < x  < 12". In den meisten formalen Sprachen steht "3 < x < 12" vielmehr für "( 3 < x )< 12".