Bereichsbegriffe

Durch zwei ganze Zahlen ist ein Intervall ganzer Zahlen  bestimmt, das hier auch als ein Bereich  bezeichnet wird. Die Schreibweise "[ a, b  ]" steht beispielsweise für einen durch den Wert "a " und den Wert "b " bestimmten Bereich ganzer Zahlen. Dieser umfaßt diese beiden und alle dazwischen liegenden Werte. So ist der Bereich "[ 0, 2 ]" beispielsweise die Zahlenmenge "{ 0, 1, 2 }", eine Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen.

In Zusammenhang mit Bereichen kommt es oft zu einem Eins-Daneben-Fehler  (“off-by-one error ”), bei dem durch Versehen oder Mißverständnisse ein Wert verwendet wird, der um Eins neben dem richtigen Wert liegt. Solche Fehler können auch durch uneinheitliche Verwendung von Begriffen  in Zusammenhang mit Bereichen entstehen. Um dem vorzubeugen, sollen hier einige Standardbegriffe für Bereiche angegeben werden.

Das Minimum  (“minimum ”, "min") eines Bereichs ist der kleinste Wert des Bereichs. Es gehört selber noch zu dem Bereich. Das Minimum des Bereichs "{ 0, 1, 2 }" ist die Zahl "0". Für einen Wert "x " aus einem Bereich und das Minimum "m " dieses Bereichs gilt "x ≥m ".

Das Maximum  (“maximum ”, "max") eines Bereichs ist der größte Wert des Bereichs. Es gehört selber noch zu dem Bereich. Das Maximum des Bereichs "{ 0, 1, 2 }" ist die Zahl "2". Für einen Wert "x " aus einem Bereich und das Maximum "M " dieses Bereichs gilt "x ≤M ".

Der Boden  (“bottom ”, "bot") eines Bereichs ist der nächste Wert direkt unter dem Bereich. Er gehört nicht mehr zu dem Bereich. Der Boden des Bereichs "{ 0, 1, 2 }" ist die Zahl "−1". Für einen Wert "x " aus einem Bereich und den Boden "b " dieses Bereichs gilt "x >b ".

Der Deckel  (“top ”, "top") eines Bereichs ist der nächste Wert direkt über dem Bereich. Er gehört nicht mehr zu dem Bereich. Der Deckel des Bereichs "{ 0, 1, 2 }" ist die Zahl "3". Für einen Wert "x " aus einem Bereich und den Deckel "T " dieses Bereichs gilt "x <T ".

Die Differenz  (“difference ”, "diff") eines Bereichs ist die Differenz "a −i " aus Maximum "M " und Minimum "m ". Die Differenz des Bereichs "{ 0, 1, 2 }" ist die Zahl "2". Ein typischer Eins-Daneben-Fehler beruht auf der unzutreffenden Annahme, diese Differenz gebe die Anzahl der Werte des Bereichs wieder.

Die Breite  (“width ”, "width") eines Bereichs ist die Anzahl  (“number ”, "num") der Werte des Bereichs. Die Breite des Bereichs "[ 0, 2 ]" ist die Zahl "3". Die Breite ist also nicht einfach die Differenz zwischen Maximum und Minimum, sondern Eins mehr, sie ist die Differenz "T −m " zwischen Deckel "T " und Minimum "m " und wird bei einem senkrechten Bereich auch als Höhe  bezeichnet.

Man kann nun sehen, daß sich Minimum und Boden, Maximum und Deckel, sowie Breite und Differenz um jeweils Eins unterscheiden. Daß oft nicht deutlich genug zwischen diesen Begriffen unterschieden wird, ist dann der Grund dafür, daß es in Zusammenhang mit Bereichen öfter zu Eins-Daneben-Fehlern kommt, beispielsweise, wenn jemand die Differenz aus Maximum und Minimum berechnet, um die Anzahl der Werte in einem Bereich zu erhalten.

Die genannten Begriffe kann man sich auch an Hand eines Topfes merken, der auf einem Boden steht. Die Höhe des Topfes hat dann ein bestimmtes Minimum und Maximum—darunter befindet sich der Boden und darüber der Deckel. Der Deckel, der oben auf einem Topf liegt, und der Boden, auf dem ein Topf steht, gehören beide nicht mehr zu dem Topf.

Topf als Bereich [0, 2] = { 0, 1, 2 }

                       ___ 
Deckel  -->     .---------------.     3  T  top  top 
Maximum -->     '|             |'     2  M  max  maximum 
                 |             |      1 
Minimum -->      '-------------'      0  m  min  minimum 
Boden   -->   ---------------------  -1  b  bot  bottom

Manchmal ist es auch sinnvoll, Bereiche in einer Schreibweise anzugeben, die mit einer runden schließenden Klammer endet. Das soll ausdrücken, daß der zweite Wert der Deckel sein soll, also selber nicht  mehr zu dem Bereich gehört. So umfaßt der Bereich "[0, 3)" die Zahlenmenge "{ 0, 1, 2 }". Die Berechnung der Kenngrößen ist dann entsprechend anzupassen. Die Angabe des Minimums und des Deckels eines Bereichs ist gelegentlich sinnvoll ist, kann aber auch wieder zu Eins-Daneben-Fehlern führen, wenn sie als Angabe des Minimums und des Maximums mißverstanden wird.

Während in der Mathematik die Begriffe „Boden“ und „Deckel“ normalerweise nicht verwendet werden, haben die Begriffe „Minimum“ und „Maximum“ in der Mathematik dieselbe Bedeutung wie hier.

Der „Boden“ muß nicht der Boden sein, auf dem ein Topf steht, manchmal nennt man auch die Unterseite des Topfes dessen „Boden“. In diesem Sinne ist das Wort „Boden“ hier nicht gemeint.